Giải bài 4.23 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
\(a)\lim_{x\to -3}\limits\,\,\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}\)
\(b)\lim_{x\to +\infty }\limits\,\,\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}-1}\)
Chú ý: Với những giới hạn mà không thể tính trực tiếp bằng định lí về giới hạn trong SGK, ta có thể biến đổi biểu thức xác định hàm số về dạng áp dụng được định lí này như:
- Phân tích mẫu thức hoặc tử thức thành nhân tử rồi rút gọn.
- Nhân với biểu thức liên hợp
- Chia tử thức và mẫu thức cho \( x^n\) với n là số mũ cao nhất của biến số \(x\).
- Đưa \(x^k\) ra ngoài dấu căn.
-…
Bài làm
a) \(\lim_{x\to -3}\limits\,\dfrac{x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}=\lim_{x\to -3}\limits\,\dfrac{x+3}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}=\lim_{x\to -3}\limits\,\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{4} \)
b) \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}-1}=\lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{1}{x+1}=0 \)
c) \(\lim_{x\to 5}\limits\,\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=\lim_{x\to 5}\limits\,\dfrac{\left( \sqrt{x}-\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{5} \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=\lim_{x\to 5}\limits\,\left( \sqrt{x}+\sqrt{5} \right)=2\sqrt{5} \)
d) \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}=\lim_{x\to +\infty }\limits\,\left( \sqrt{x}-\sqrt{5} \right)=+\infty \)
e)
\(\begin{align} & \lim_{x\to 1}\limits\,\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\lim_{x\to 1}\limits\,\dfrac{\left(\sqrt x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}{\left( x+3-4 \right)} \\ & =\lim_{x\to 1}\limits\,\left(\dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x}+1} \right)=2 \\ \end{align}\)
f)
\( \lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{1-2x+3{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}-9}=\lim_{x\to +\infty }\limits\,\dfrac{{{x}^{3}}\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}+3 \right)}{{{x}^{3}}\left( 1-\dfrac{9}{{{x}^{3}}} \right)}=3 \)
g)
\(\lim_{x\to 0}\limits\,\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}-1 \right)=\lim_{x\to 0}\limits\,\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}.\dfrac{-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)=\lim_{x\to 0}\limits\,\left( -\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1} \right)=-1 \)
h)
\(\begin{align} & \lim_{x\to -\infty }\limits\,\dfrac{\left( {{x}^{2}}-1 \right){{\left( 1-2x \right)}^{5}}}{{{x}^{7}}+x+3}=\lim_{x\to -\infty }\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right).{{x}^{5}}{{\left( \dfrac{1}{x}-2 \right)}^{5}}}{{{x}^{7}}\left( 1+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}+\dfrac{3}{{{x}^{7}}} \right)} \\ & =\lim_{x\to -\infty }\limits\,\dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right){{\left( \dfrac{1}{x}-2 \right)}^{5}}}{1+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}+\dfrac{3}{{{x}^{7}}}}=(-2)^5=-32 \\ \end{align} \)