Giải bài 4.21 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hai hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) cùng xác định trên khoảng \((-\infty;a)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=L\) và \(\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=M\) thì \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x).g(x)=L.M\)
Giả sử (\(x_n\)) là dãy số bất kì thỏa mãn \(x_n < a\) và \(x_n \to -\infty.\)
Vì \(\lim_{x\to -\infty }\limits\,f\left( x \right)=L\) nên \(\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{x}_{n}} \right)=L \)
Vì \(\lim_{x\to -\infty }\limits\,g\left( x \right)=M\) nên \( \lim_{n\to +\infty }\limits\,g\left( {{x}_{n}} \right)=M \)
Do đó, \(\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{x}_{n}} \right).g\left( {{x}_{n}} \right)=L.M \)
Từ định nghĩa suy ra \(\lim_{x\to -\infty }\limits\,f\left( x \right)g\left( x \right)=L.M \)