Giải bài 4.20 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Xét hai dãy số ($a_n$) với $a_n=2n\pi$ và ($b_n$) với ${{b}_{n}}=\dfrac{\pi }{2}+2n\pi \,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$

Ta có: 

$\begin{align} & \lim_{n\to +\infty }\limits\,{{a}_{n}}=\lim_{n\to +\infty }\limits\,2n\pi =+\infty \\ & \lim_{n\to +\infty }\limits\,{{b}_{n}}=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,n\left( \dfrac{\pi }{2n}+2\pi \right)=+\infty \\ \end{align}$

$\begin{align} & \lim_{x\to \infty }\limits\,\sin {{a}_{n}}=\lim_{x\to \infty }\limits\,\sin 2n\pi =0 \\ & \lim_{x\to \infty }\limits\,\sin {{b}_{n}}=\lim_{x\to \infty }\limits\,\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1 \\ \end{align}$

Như vậy $a_n\to +\infty, b_n\to +\infty$ nhưng $\lim \sin a_n\ne \lim \sin b_n.$

Do đó theo định nghĩa không tồn tại giới hạn của hàm số $y=\sin x$ khi $x\to +\infty.$

b) Đồ thị hàm số $y=\sin x$

Từ đồ thị hàm số ta có, hàm số $y=\sin x$ là tuần hoàn có khoảng giá trị là $[-1;1]$