Giải bài 3.50 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

A.
Vì \(\sin n\) là hàm tuần hoàn nên \(u_n\) không tăng không giảm
B.
Xét hiệu
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}+1}{n+1}-\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n} \\ & =\dfrac{n{{\left( n+1 \right)}^{2}}+n-{{n}^{2}}\left( n+1 \right)-\left( n+1 \right)}{n\left( n+1 \right)} \\ & =\dfrac{{{n}^{2}}+n-1}{n\left( n+1 \right)}>0\,\,\forall \,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{aligned} \) 
Vậy dãy số tăng
C.
Xét hiệu
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}-\left( \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \right) \\ & =\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \\ & =\dfrac{\left( \sqrt{n}+\sqrt{n-1} \right)-\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n}+\sqrt{n-1} \right)} \\ & =\dfrac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n+1}}{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n}+\sqrt{n-1} \right)}<0 \\ \end{aligned} \)
Vậy dãy số giảm
D. Xét hiệu
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\left( {{2}^{n+1}}+1 \right)-{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right) \\ & =-2{{\left( -1 \right)}^{n}}{{.2}^{n}}-{{\left( -1 \right)}^{n}}-{{\left( -1 \right)}^{n}}{{.2}^{n}}-{{\left( -1 \right)}^{n}} \\ & =-3{{\left( -1 \right)}^{n}}{{.2}^{n}}-2{{\left( -1 \right)}^{n}} \\ \end{aligned}\) 
Dãy số không tăng không giảm

Chọn C.