Giải bài 3.5 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có:
a) \(2^n > 2n+1\)
b) \(2^n>n^2+4n+5\)
c) \(3^n>2^n+7n\)
Hướng dẫn
Sử dụng phép thử với \(n= 1, 2, 3,..m\)
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n\ge m (m\in \mathbb N^*)\)
a)
Dùng phép thử:
Với \(n=1\) ta có: \(2>2+1\) vô lý
Với \(n=2\) ta có: \(4> 5\) vô lý
Với \(n =3\) ta có: \(8> 7\) luôn đúng
Ta chứng minh với \(n \ge 3\) bất đẳng thức đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với \( n=3\), bất đẳng thức đúng.
Giả sử với \(n=k (k\ge 3)\) bất đẳng thức đúng tức là: \(2^k > 2k+1\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) bất đẳng thức cũng đúng:
Ta có:
\({{2}^{k+1}}={{2}^{k}}.2>\left( 2k+1 \right).2=4k+2=2\left( k+1 \right)+1+2k-1\)
Vì \(k\ge 3\) nên \(2k-1> 0\)
Do vậy \(2^{k+1}> 2(k+1)+1+2k-1>2(k+1)+1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{n\ge 3|n\in \mathbb N^*\}\)
Dùng phép thử:
Với \(n=1\) ta có: \(3>2+7\) vô lý
Với \(n=2\) ta có: \(3^2=9>2^2+7.2=18\) vô lý
Với \(n =3\) ta có: \(3^3=27>2^3+7.3=29\) vô lý
Với \(n=4\) ta có: \(3^4=81>2^4+7.4=44\) luôn đúng
Ta chứng minh với \(n \ge 4\) bất đẳng thức đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với \( n=4\), bất đẳng thức đúng.
Giả sử với \(n=k (k\ge 3)\) bất đẳng thức đúng tức là: \(2^k > 2k+1\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) bất đẳng thức cũng đúng:
Ta có:
\(3^{k+1}=3.3^k>3(2^k+7k)\\ \Rightarrow 3^{k+1}>2.2^k+7k+7+2^k+14k-7\)
Vì \(k\ge 4\) nên \(2^k+14k>7\)
Do vậy \(3^{k+1}>2.2^k+7k+7+2^k+14k-7>2^{k+1}+7(k+1)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\{n\ge 4|n\in \mathbb N^*\}\)