Giải bài 3.5 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có:
a) 2n>2n+1
b) 2n>n2+4n+5
c) 3n>2n+7n
Hướng dẫn
Sử dụng phép thử với n=1,2,3,..m
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức đúng với n≥m(m∈N∗)
a)
Dùng phép thử:
Với n=1 ta có: 2>2+1 vô lý
Với n=2 ta có: 4>5 vô lý
Với n=3 ta có: 8>7 luôn đúng
Ta chứng minh với n≥3 bất đẳng thức đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n=3, bất đẳng thức đúng.
Giả sử với n=k(k≥3) bất đẳng thức đúng tức là: 2k>2k+1
Ta chứng minh với n=k+1 bất đẳng thức cũng đúng:
Ta có:
2k+1=2k.2>(2k+1).2=4k+2=2(k+1)+1+2k−1
Vì k≥3 nên 2k−1>0
Do vậy 2k+1>2(k+1)+1+2k−1>2(k+1)+1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {n≥3|n∈N∗}
Dùng phép thử:
Với n=1 ta có: 3>2+7 vô lý
Với n=2 ta có: 32=9>22+7.2=18 vô lý
Với n=3 ta có: 33=27>23+7.3=29 vô lý
Với n=4 ta có: 34=81>24+7.4=44 luôn đúng
Ta chứng minh với n≥4 bất đẳng thức đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n=4, bất đẳng thức đúng.
Giả sử với n=k(k≥3) bất đẳng thức đúng tức là: 2k>2k+1
Ta chứng minh với n=k+1 bất đẳng thức cũng đúng:
Ta có:
3k+1=3.3k>3(2k+7k)⇒3k+1>2.2k+7k+7+2k+14k−7
Vì k≥4 nên 2k+14k>7
Do vậy 3k+1>2.2k+7k+7+2k+14k−7>2k+1+7(k+1)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {n≥4|n∈N∗}