Giải bài 3.49 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

- Đặt \(x^2=t\)

- Phương trình ban đâu có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta >0\)

- Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng: Áp dụng tính chất tính chất lập phương trình

Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\left( t\ge 0 \right) \)

Phương trình trở thành: 

\({{t}^{2}}-\left( 3m+5 \right)t+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0 (*)\)

Để phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:

\(\begin{aligned} & \Delta ={{\left( 3m+5 \right)}^{2}}-4{{\left( m+1 \right)}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+22m+21>0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<-3 \\ & m>-\dfrac{7}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Giả sử hai nghiệm dương của phương trình (*) là \({{t}_{1}};\,{{t}_{2}}\,\,\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right) \)

Bốn nghiệm của phương trình ban đầu lần lượt là: \(-\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}} \)

Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng là: 

\(\begin{aligned} & \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=2\sqrt{{{t}_{1}}} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}=3\sqrt{{{t}_{1}}} \\ & \Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}} \\ \end{aligned} \)

Kết hợp với  hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{aligned} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3m+5 \\ & {{t}_{1}}{{t}_{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}} \\ & {{t}_{2}}=9{{t}_{1}} \\ \end{aligned} \right. \)
Giải hệ phương trình được \(m=5\)  và \(m=-\dfrac{25}{19} \)