Giải bài 3.41 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a)

Năm số hạng đầu của dãy số là $\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{81},\dfrac{5}{243}$

b)

Để chứng minh ($v_n$) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số $\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}$ là hằng số

Ta  có:

$\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{n+1}:\dfrac{{{u}_{n}}}{n}=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}.\dfrac{n}{n+1}\,\,\left( 1 \right)$

Mà theo giả thiết ta có: 

$\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=\dfrac{\left( n+1 \right){{u}_{n}}}{3n} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{n+1}{3n} \\ \end{aligned}$

Suy ra $\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{n+1}{3n}.\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{3}$

Do đó, ($v_n$) là cấp số nhân có ${{v}_{1}}=\dfrac{1}{3},q=\dfrac{1}{3}$

c) Để tính $u_n$ ta viết tích của $n-1$ tỉ số:

$\begin{aligned} & \dfrac{{{v}_{n}}}{{{v}_{n-1}}}.\dfrac{{{v}_{n-1}}}{{{v}_{n-2}}}...\dfrac{{{v}_{3}}}{{{v}_{2}}}.\dfrac{{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{v}_{n}}}{{{v}_{1}}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}} \\ \end{aligned}$

Suy ra

 $\begin{aligned} & {{v}_{n}}=\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{u}_{n}}}{n}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}}\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{n}{{{3}^{n}}} \\ \end{aligned}$