Giải bài 3.40 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)): \(\left\{\begin{align}&u_1=1,u_2=2\\&u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}+1\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 2\\ \end{align}\right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (\(v_n\)) với \(v_n=u_{n+1}-u_{n}\)
Chứng minh dãy số (\(v_n\)) là cấp số cộng
c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
a)
Năm số hạng đầu của dãy số là: \({{u}_{1}}=1,{{u}_{2}}=2,{{u}_{3}}=4,{{u}_{4}}=7,{{u}_{5}}=11 \)
b)
Từ công thức truy hồi của dãy số ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow \left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1 \\ \end{aligned} \)
Để chứng minh dãy số \((v_n)\) là cấp số cộng ta chỉ ra \({{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}\) là hằng số.
Ta có:
\({{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}=\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1 \)
Vậy \((v_n) \) là cấp số cộng với \(v_1=1, d=1\)
c) Để tính \(u_n\), ta viết:
\(\begin{aligned} & {{v}_{1}}=1 \\ & {{v}_{2}}={{u}_{3}}-{{u}_{2}} \\ & {{v}_{3}}={{u}_{4}}-{{u}_{3}} \\ & ... \\ & {{v}_{n-2}}={{u}_{n-1}}-{{u}_{n-2}} \\ & {{v}_{n-1}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \\ \end{aligned} \)
Cộng từng vế của phương trình ta có:
\(\begin{aligned} & {{v}_{1}}+{{v}_{2}}+...+{{v}_{n-1}}=1-{{u}_{2}}+{{u}_{n}}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}=1+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2} \\ \end{aligned} \)
(Vế phải là tổng \(n-1\) số hạng đầu của cấp số cộng \(v_n\))