Giải bài 3.40 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a)

Năm số hạng đầu của dãy số là: ${{u}_{1}}=1,{{u}_{2}}=2,{{u}_{3}}=4,{{u}_{4}}=7,{{u}_{5}}=11$
b)

Từ công thức truy hồi của dãy số ta có:

$\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow \left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1 \\ \end{aligned}$

Để chứng minh dãy số $(v_n)$ là cấp số cộng ta chỉ ra ${{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}$ là hằng số.

Ta có:

${{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}=\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1$

Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1, d=1$

c) Để tính $u_n$, ta viết:

$\begin{aligned} & {{v}_{1}}=1 \\ & {{v}_{2}}={{u}_{3}}-{{u}_{2}} \\ & {{v}_{3}}={{u}_{4}}-{{u}_{3}} \\ & ... \\ & {{v}_{n-2}}={{u}_{n-1}}-{{u}_{n-2}} \\ & {{v}_{n-1}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \\ \end{aligned}$

Cộng từng vế của phương trình ta có:

$\begin{aligned} & {{v}_{1}}+{{v}_{2}}+...+{{v}_{n-1}}=1-{{u}_{2}}+{{u}_{n}}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}=1+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2} \\ \end{aligned}$

(Vế phải là tổng $n-1$ số hạng đầu của cấp số cộng $v_n$)