Giải bài 3.4 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh các bất đẳng thức sau \((n\in \mathbb N^*)\)
a) \(2^{n+2}> 2n+5\)
b) \(\sin^{2n}\alpha+\cos^{2n}\alpha \le 1\)
Lời giải:
a)
Với \(n=1\), ta có: \({{2}^{1+2}}=8>7=2+5 \) (luôn đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \( {{2}^{k+2}}>2k+5 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{2}^{k+1+2}}>2\left( k+1 \right)+5\Leftrightarrow {{2}^{k+3}}>2k+7\)
Thật vậy, ta có:
\({{2}^{k+1}}={{2}^{k}}.2>2.\left( 2k+5 \right)=4k+10=2k+7+2k+3 \)
Vì \(2k+3 > 0\) nên \(2k+7+2k+3 > 2k+7\)
Suy ra \({{2}^{k+3}}>2k+7\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \( {{2}^{k+2}}>2k+5 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{2}^{k+1+2}}>2\left( k+1 \right)+5\Leftrightarrow {{2}^{k+3}}>2k+7\)
Thật vậy, ta có:
\({{2}^{k+1}}={{2}^{k}}.2>2.\left( 2k+5 \right)=4k+10=2k+7+2k+3 \)
Vì \(2k+3 > 0\) nên \(2k+7+2k+3 > 2k+7\)
Suy ra \({{2}^{k+3}}>2k+7\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b)
Với \(n=1\), ta có: \({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\,\, \) (hệ thức đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{\sin }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha +{{\cos }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha \le 1 \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2(k+1)}}\alpha +{{\cos }^{2(k+1)}}\alpha ={{\sin }^{2k}}\alpha {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2k}}{{\cos }^{2}}\alpha \\ & \le {{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1\,\,\left( \text{vì}\,\,{{\sin }^{2}}\alpha \le 1,\,{{\cos }^{2}}\alpha \le 1 \right) \\ \end{align}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{\sin }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha +{{\cos }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha \le 1 \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2(k+1)}}\alpha +{{\cos }^{2(k+1)}}\alpha ={{\sin }^{2k}}\alpha {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2k}}{{\cos }^{2}}\alpha \\ & \le {{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1\,\,\left( \text{vì}\,\,{{\sin }^{2}}\alpha \le 1,\,{{\cos }^{2}}\alpha \le 1 \right) \\ \end{align}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học khác
Giải bài 3.1 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh các đẳng...
Giải bài 3.2 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh các đẳng...
Giải bài 3.3 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng với...
Giải bài 3.4 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh các bất...
Giải bài 3.5 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Với giá trị nào của...
Giải bài 3.6 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho...
Giải bài 3.7 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Xét mệnh đề chứa...
Giải bài 3.8 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Đặt...
Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
+ Mở rộng xem đầy đủ