Giải bài 3.4 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau $(n\in \mathbb N^*)$

a) $2^{n+2}> 2n+5$

b) $\sin^{2n}\alpha+\cos^{2n}\alpha \le 1$

Lời giải:

Với

$n=1$ , ta có:

${{2}^{1+2}}=8>7=2+5$ (luôn đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với

$n=k (k\ge 1)$ tức là

${{2}^{k+2}}>2k+5$
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

$n=k+1$ , tức là chứng minh

${{2}^{k+1+2}}>2\left( k+1 \right)+5\Leftrightarrow {{2}^{k+3}}>2k+7$
Thật vậy, ta có:

${{2}^{k+1}}={{2}^{k}}.2>2.\left( 2k+5 \right)=4k+10=2k+7+2k+3$
Vì

$2k+3 > 0$ nên

$2k+7+2k+3 > 2k+7$
Suy ra

${{2}^{k+3}}>2k+7$
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi

$k\ge 1$ hay đúng với mọi

$n\in \mathbb N^*$
b)

Với

$n=1$ , ta có:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\,\,$ (hệ thức đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với

$n=k (k\ge 1)$ tức là

${{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1$
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

$n=k+1$ , tức là chứng minh

${{\sin }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha +{{\cos }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha \le 1$
Thật vậy, ta có:

$\begin{align} & {{\sin }^{2(k+1)}}\alpha +{{\cos }^{2(k+1)}}\alpha ={{\sin }^{2k}}\alpha {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2k}}{{\cos }^{2}}\alpha \\ & \le {{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1\,\,\left( \text{vì}\,\,{{\sin }^{2}}\alpha \le 1,\,{{\cos }^{2}}\alpha \le 1 \right) \\ \end{align}$
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi

$k\ge 1$ hay đúng với mọi

$n\in \mathbb N^*$

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Giải bài tập SBT Toán 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ