Giải bài 3.38 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

a) \(A_n=\dfrac1{1.2.3}+\dfrac1{2.3.4}+...+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)

b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)} 6\)

c) \(S_n=\sin x +\sin2x+\sin 3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}.\sin \dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin \dfrac x 2}\)

Lời giải:

a) 

Với \( n=1\), ta có:

\(\dfrac{1.\left( 1+3 \right)}{4.\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}=\dfrac{4}{4.2.3}=\dfrac{1}{1.2.3}={{A}_{1}} \)

Giả sử đã có:

\({{A}_{k}}=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\)

Ta có:

\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k{{\left( k+3 \right)}^{2}}+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( {{k}^{2}}+6k+9 \right)+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left( k+4 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+4 \right)}{4\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ \end{aligned} \)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1.\)

Ta được điều phải chứng minh.

b) 

Với \(n=1\) ta có \(\dfrac{1\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}{6}=1={{B}_{1}} \)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\), tức là: \( {{B}_{k}}=1+3+6+...+\dfrac{k\left( k+1 \right)}{2}=\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6} \)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là:

\({{A}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6} \)

Ta có:

\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6} \\ \end{aligned}\)

Vậy khẳng định trên đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

c)

Với \(n=1\), ta có:

\(\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}{\sin \dfrac{x}{2}}=\sin x={{S}_{1}} \)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\), tức là: \({{S}_{k}}=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}} \)

Ta chứng minh hệ thức đúng với \(n=k+1\). Ta có:

\(\begin{aligned} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\sin \left( k+1 \right)x \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}+2\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}-\sin \dfrac{kx}{2}+\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ \end{aligned}\)

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n\in \mathbb N^* \)

 

Tham khảo lời giải các bài tập Bài tập ôn tập chương 3 khác Giải bài 3.37 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Sử dụng phương pháp... Giải bài 3.38 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Sử dụng phương pháp... Giải bài 3.39 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Sử dụng phương pháp... Giải bài 3.40 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho dãy số... Giải bài 3.41 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho dãy số... Giải bài 3.42 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Ba số có tổng là 217... Giải bài 3.43 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Một cấp số cộng và... Giải bài 3.44 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng nếu ba... Giải bài 3.45 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho cấp số nhân... Giải bài 3.46 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Có thể có một tam giác... Giải bài 3.47 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Tính... Giải bài 3.48 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Tính... Giải bài 3.49 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm m để phương... Giải bài 3.50 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Trong các dãy số... Giải bài 3.51 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Trong các dãy số... Giải bài 3.52 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho cấp số nhân... Giải bài 3.53 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Trong các dãy số... Giải bài 3.54 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho cấp số cộng \(6, x,... Giải bài 3.55 trang 135 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho cấp số... Giải bài 3.56 trang 135 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho dãy số (\(u_n\)) với...
Bài tập ôn tập chương 3
Giải bài 3.37 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.38 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.39 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.40 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.41 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.42 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.43 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.44 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.45 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.46 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.47 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.48 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.49 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.50 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.51 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.52 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.53 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.54 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.55 trang 135 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải bài 3.56 trang 135 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giải bài tập SBT Toán 11
+ Mở rộng xem đầy đủ