Giải bài 3.37 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng

a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

b) Tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

c) \(n^3 - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

Lời giải:

Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{5}}-n \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}=1-1=0\,\,\vdots \,\,5 \)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{5}}-k\,\,\vdots \,\,5\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) mệnh đề vẫn đúng.
Thật vậy, ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{5}}-\left( k+1 \right) \\ & ={{k}^{5}}+5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+5k+1-\left( k+1 \right) \\ & ={{k}^{5}}+5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+4k \\ & =\left( {{k}^{5}}-k \right)+\left( 5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+5k \right)\,\,\vdots \,\,5 \\ \end{aligned} \)
Vậy \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in \mathbb N^*\)
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n, n+1, n+2\)
Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{3}}+{{\left( n+1 \right)}^{3}}+{{\left( n+2 \right)}^{3}} \)
Ta có \({{A}_{1}}=1+{{\left( 1+1 \right)}^{3}}+{{\left( 1+2 \right)}^{3}}=36\,\,\vdots \,\,9\)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{3}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}\,\,\vdots \,\,9 \)
Ta chứng minh \({{A}_{k+1}}\,\vdots \,9\). Tức là \( {{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}\,\,\vdots \,\,9 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}-{{k}^{3}} \\ & ={{A}_{k}}+{{k}^{3}}+9{{k}^{2}}+27k+27-{{k}^{3}} \\ & ={{A}_{k}}+9{{k}^{2}}+27k+27\,\,\vdots \,\,3 \\ \end{aligned}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh
c) Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{3}}-n \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}=1-1=0\,\,\vdots \,\,6 \)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{3}}-k\,\,\vdots \,\,6\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) mệnh đề vẫn đúng.
Thật vậy, ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}-\left( k+1 \right)={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1-k-1 \\ & ={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+2k \\ & ={{k}^{3}}-k+\left( 3{{k}^{2}}+3k \right) \\ & ={{A}_{k}}+3k\left( k+1 \right) \\ \end{aligned} \)
Vì \(k(k+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(k\left( k+1 \right)\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow 3k\left( k+1 \right)\,\,\vdots \,\,6 \)
Vậy \(n^3-n\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 11

Bài tập ôn tập chương 3

Giải bài tập SBT Toán 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ