Giải bài 3.3 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Đặt \({{A}_{n}}=2{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+n\,\,\left( 1 \right) \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}=2-3+1=0\,\vdots \,6\)  (hệ thức đúng)
Giả sử (1) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}=2{{k}^{3}}-3{{k}^{2}}+k\,\vdots \,6 \)
Ta chứng minh (1) đúng với \( n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=2{{\left( k+1 \right)}^{3}}-3{{(k+1)}^{2}}+k+1\,\,\vdots \,6 \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}=2\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1 \right)-3\left( {{k}^{2}}+2k+1 \right)+k+1 \\ & =2{{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+k \\ & =2{{k}^{3}}-3{{k}^{2}}+k+6{{k}^{2}} \\ & ={{S}_{k}}+6{{k}^{2}}\,\vdots \,6 \\ \end{align} \)
Vậy (1) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b) Đặt \({{A}_{n}}={{11}^{n+1}}+{{12}^{2n-1}}\,\,\left( 2 \right) \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}={{11}^{2}}+{{12}^{2.1-1}}=133\,\vdots \,133\)  (hệ thức đúng)
Giả sử (2) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}={{11}^{k+1}}+{{12}^{2k-1}}\,\,\vdots \,\,133\) 
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}={{11}^{k+2}}+{{12}^{2\left( k+1 \right)-1}}={{11}^{k+2}}+{{12}^{2k+1}}\,\,\vdots \,\,133 \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{11}^{k+2}}+{{12}^{2k+1}} \\ & ={{11.11}^{k+1}}+{{12}^{2k-1}}{{.12}^{2}} \\ & ={{11.11}^{k}}+{{12}^{2k-1}}\left( 11+133 \right) \\ & =11\left( {{11}^{k}}+{{12}^{2k-1}} \right)+{{133.12}^{2k-1}}\,\, \\ & =11.{{S}_{k}}+{{133.12}^{2k-1}}\,\,\vdots \,\,133 \\ \end{align} \)
Vậy (2) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)