Giải bài 3.28 trang 131 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cấp số nhân (\(u_n\)) có \(\left\{\begin{align}&u_1+u_5=51\\&u_2+u_6=102\\ \end{align}\right.\)
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân;
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng \(3069\)?
c) Số \(12 288\) là số hạng thứ mấy?
Hướng dẫn: Áp dụng công thức \(u_k=u_1.q^{k-1}\)
Bài làm
a) Ta có
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\ & {{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\ & q\left( {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}} \right)=102 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & q=2 \\ & {{u}_{1}}+16{{u}_{1}}=51 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=3 \\ & q=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
b) Giả sử \({{S}_{n}}=3069 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{S}_{n}}=3069 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}\left( {{q}^{n}}-1 \right)}{q-1}=3069 \\ & \Leftrightarrow 3.\left( {{2}^{n}}-1 \right)=3069 \\ & \Leftrightarrow {{2}^{n}}=1024 \\ & \Leftrightarrow n=10 \\ \end{aligned} \)
c) Giả sử \(12288\) là số hạng thứ \(k\).
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{k}}=12288 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{1}}{{q}^{k-1}}=12288 \\ & \Leftrightarrow {{3.2}^{k-1}}=12288 \\ & \Leftrightarrow {{2}^{k-1}}=4096 \\ & \Leftrightarrow k-1=12 \\ & \Leftrightarrow k=13 \\ \end{aligned} \)