Giải bài 3.23 trang 124 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm \(x\) từ phương trình
a) \(2+7+12+...+x=245\) biết \(2,7,12,...,x\) là cấp số cộng.
b) \((2x+1)+(2x+6)+(2x+11)+...+(2x+96)=1010\) biết \(1,6,11,...\) là cấp số cộng.
a) Ta có:
VT là tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng có \(u_1=2, d=5\)
Do vậy ta có:
\(\begin{aligned} & {{S}_{n}}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=245 \\ & \Leftrightarrow n\left[ 4+\left( n-1 \right).5 \right]=490 \\ & \Leftrightarrow 5{{n}^{2}}-n-490=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & n=10 \\ & n=-\dfrac{49}{5}\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Vậy \(n=10\), từ đó ta có: \(x={{u}_{10}}={{u}_{1}}+9d=2+9.5=47 \)
b) Xét cấp số cộng \(1, 6, 11, …96\) có \(u_1=1; d=5 \)
Ta có: \(96=1+\left( n-1 \right).5\Rightarrow n=20 \)
Phương trình tương đương:
\(\begin{aligned} & 20.2x+\left( 1+6+11+...+96 \right)=1010 \\ & \Leftrightarrow 40x+\dfrac{20\left( 1+96 \right)}{2}=1010 \\ & \Leftrightarrow 40x+970=1010 \\ & \Leftrightarrow x=1 \\ \end{aligned} \)