Giải bài 3.20 trang 123 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tính số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của cấp số cộng (\(u_n\)), biết
| \(a)\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0 \\ & {{S}_{4}}=14 \\ \end{align} \right.\) | \(b)\left\{ \begin{align} & {{u}_{4}}=10 \\ & {{u}_{7}}=19 \\ \end{align} \right.\) |
| \(c)\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}-{{u}_{3}}=10 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{6}}=7 \\ \end{align} \right.\) | \(d)\,\left\{ \begin{align} & {{u}_{7}}-{{u}_{3}}=8 \\ & {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{align} \right.\) |
Hướng dẫn
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên và số hạng thứ n của cấp số cộng.
\(S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\) ; \(u_n=u_1+(n-1)d\)
Giải hệ phương trình.
a)
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0 \\ & {{S}_{4}}=14 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+2\left( {{u}_{1}}+4d \right)=0 \\ & \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3{{u}_{1}}+8d=0 \\ & 2{{u}_{1}}+3d=7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=8 \\ & d=-3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
b)
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{4}}=10 \\ & {{u}_{7}}=19 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+3d=10 \\ & {{u}_{1}}+6d=19 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=1 \\ & d=3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
c)
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}-{{u}_{3}}=10 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{6}}=7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+4d-\left( {{u}_{1}}+2d \right)=10 \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+5d=7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+2d=10 \\ & 2{{u}_{1}}+5d=7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=36 \\ & d=-13 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
d)
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{7}}-{{u}_{3}}=8 \\ & {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+6d-{{u}_{1}}-2d=8 \\ & \left( {{u}_{1}}+d \right)\left( {{u}_{1}}+6d \right)=75 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & d=2 \\ & \left( {{u}_{1}}+2 \right)\left( {{u}_{1}}+12 \right)=75 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & d=2 \\ & u_{1}^{2}+14{{u}_{1}}-51=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & d=2 \\ & {{u}_{1}}=3 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & d=2 \\ & {{u}_{1}}=-17 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)