Giải bài 3.2 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Đặt \( {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}=\dfrac{n\left( 4{{n}^{2}}-1 \right)}{3} \,\,(1)\)

Với \(n=1\), ta có: \({{S}_{1}}=1=\dfrac{1\left( {{4.1}^{2}}-1 \right)}{3}\) (hệ thức đúng)
Giả sử (1) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}=\dfrac{k\left( 4{{k}^{2}}-1 \right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ 4{{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3} \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+{{\left[ 2\left( k+1 \right)-1 \right]}^{2}}=\dfrac{k\left( 4{{k}^{2}}-1 \right)}{3}+{{\left( 2k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( 2k+1 \right)\left( 2k-1 \right)+3{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}}{3} \\ & =\dfrac{\left( 2k+1 \right)\left[ k\left( 2k-1 \right)+3\left( 2k+1 \right) \right]}{3} \\ & =\dfrac{\left( 2k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+5k+3 \right)}{3}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 2k+3 \right)\left( 2k+1 \right)}{3} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ 4{{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3} \\ \end{align} \)
Vậy (1) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b) Đặt \( {{S}_{n}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\dfrac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4} \,\,(2)\)
Với \(n=1\), ta có: \({{S}_{1}}=1=\dfrac{1{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{4}\) (hệ thức đúng)
Giả sử (2) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}=\dfrac{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{4}\)
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{4} \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}=\dfrac{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{4}+{{\left( k+1 \right)}^{3}} \\ & =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left[ {{k}^{2}}+4\left( k+1 \right) \right]}{4}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{4} \\ \end{align} \)
Vậy (2) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)