Giải bài 3.19 trang 123 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Trong các dãy số \(u_n\) sau, dãy nào là cấp số cộng?
a) \(u_n=3n-1\)
b) \(u_n=2^n+1\)
c) \(u_n=(n+1)^2-n^2\)
d) \(\left\{\begin{align}&u_1=3\\&u_{n+1}=1-u_n\\ \end{align}\right.\)
Hướng dẫn:
Để xét xem một dãy số có là cấp số cộng hay không ta xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\).
Nếu hiệu là một hằng số thì dãy số là cấp số cộng.
Bài giải
a) Xét hiệu:
\(u_{n+1}-u_n=3(n+1)-1-3n+1=3\\\Rightarrow u_{n+1}=u_n+3\)
Vậy dãy số là cấp số cộng với \(u_1=2,\,d=3\)
b) \(u_{n+1}-u_n=2^{n+1}+1-2^n-1=2^n\)
Vì \(2^n\) không là một hằng số nên dãy số không là cấp số cộng.
c) \(u_{n+1}-u_n=2(n+1)+1-2n-1=2\)
Vì \(u_{n+1}=u_n+2\) nên dãy số là cấp số cộng có \(u_1=3,\,d=2\)
d) Ta có \(\left\{\begin{align}&u_1=3\\&u_{n+1}=1-u_n\\ \end{align}\right.\)
\(u_1=3\\u_2=-2\\u_3=3\\ \Rightarrow u_2-u_1\ne u_3-u_2\)
Vậy dãy số không là cấp số cộng