Giải bài 3.12 trang 118 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=n^2-4n+3\)
a) Viết công thức truy hồi của dãy số;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;
c) Tính tổng \(n\) số hạng đầu của dãy đã cho.
Hướng dẫn
Để viết công thức tru hồi của dãy số, ta thực hiện:
- Tính \(u_1\)
- Tìm hiệu \(u_{n+1}-u_{n} \)
Bài làm
a) Ta có:
\({{u}_{1}}=0 \)
Xét hiệu
\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}-4\left( n+1 \right)+3-\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & ={{n}^{2}}+2n+1-4n-4+3-{{n}^{2}}+4n-3 \\ & =2n-3 \\ \end{align} \)
Vậy công thức truy hồi là \( \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2n-3\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right. \)
b) Ta có:
\({{u}_{n}}={{n}^{2}}-4n+3={{\left( n-2 \right)}^{2}}-1\ge -1 \)
Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên vì khi \(n\to +\infty\) thì \( {{u}_{n}}\to +\infty\)
c)
\(\begin{align} & {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}} \\ & =\left( {{1}^{2}}-4.1+3 \right)+\left( {{2}^{2}}-4.2+3 \right)+\left( {{3}^{2}}-4.3+3 \right)+...+\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & =\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}} \right)-4.\left( 1+2+3+..+n \right)+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-4.\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)-12n\left( n+1 \right)+18n}{6} \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n-11 \right)+18n}{6} \\ \end{align} \)