Giải bài 3.12 trang 118 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn

Để viết công thức tru hồi của dãy số, ta thực hiện:

- Tính $u_1$

- Tìm hiệu $u_{n+1}-u_{n}$

Bài làm

a) Ta có:

${{u}_{1}}=0$

Xét hiệu 

$\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}-4\left( n+1 \right)+3-\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & ={{n}^{2}}+2n+1-4n-4+3-{{n}^{2}}+4n-3 \\ & =2n-3 \\ \end{align}$

Vậy công thức truy hồi là $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2n-3\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.$

b) Ta có: 

${{u}_{n}}={{n}^{2}}-4n+3={{\left( n-2 \right)}^{2}}-1\ge -1$

Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên vì khi $n\to +\infty$  thì ${{u}_{n}}\to +\infty$  
c) 

$\begin{align} & {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}} \\ & =\left( {{1}^{2}}-4.1+3 \right)+\left( {{2}^{2}}-4.2+3 \right)+\left( {{3}^{2}}-4.3+3 \right)+...+\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & =\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}} \right)-4.\left( 1+2+3+..+n \right)+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-4.\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)-12n\left( n+1 \right)+18n}{6} \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n-11 \right)+18n}{6} \\ \end{align}$