Giải bài 2.50 trang 85 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu A là biến cố: "Quả lấy ra màu đỏ", B là biến cố: "Quả lấy ra ghi số chẵn". Hỏi A và B có độc lập không?
Hướng dẫn:
Để chứng minh hai biến cố A và B độc lập ta chỉ ra \(P(A\cap B)=P(A).P(B)\)
Bài giải
Kí hiệu \(\Omega\) là biến cố: "Lấy ra một quả"
Suy ra \(n(\Omega)=10\)
Kí hiệu A là biến cố: "Quả lấy ra màu đỏ",
B là biến cố: "Quả lấy ra ghi số chẵn"
\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) nên \(n(A)=6\)
Vậy \(P(A)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
\(B=\{2, 4, 6, 8, 10\}\) nên \(n(B)=5\) và \(A\cap B=\{2,4,6\}\)
Suy ra \(P(B)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\) và \(P(A\cap B)=\dfrac{3}{10}\)
Ta thấy
\(P(A\cap B)=\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}=P(A)P(B)\)
Vậy A và B là hai biến cố độc lập
Ghi nhớ:
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố kia.
Và biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi \(P(A\cap B)=P(A).P(B)\)