Giải bài 1.57 trang 41 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Nghiệm của phương trình \(3(\cos x-\sin x)-\sin x\cos x=-3\) là
| A. \(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) và \(\pi+k2\pi,\,k\in\mathbb Z\) | B. \(k\pi,\,k\in\mathbb Z\) |
| C. \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi,\,k\in\mathbb Z\) | D. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\,k\in\mathbb Z\) |
Hướng dẫn:
Đặt \(\cos x-\sin x=t\)
Biến đổi \(\sin x\cos x\) theo t
Đặt
Ta có:
\(\begin{aligned} & \cos x-\sin x=t \\ & \Rightarrow {{\left( \cos x -\sin x \right)}^{2}}={{t}^{2}} \\ & \Rightarrow 1-2\sin x\cos x={{t}^{2}} \\ & \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{2} \\ \end{aligned} \)
Phương trình trở thành:
\(\begin{aligned} & 3t-\dfrac{1-{{t}^{2}}}{2}=-3 \\ & \Leftrightarrow 6t-1+{{t}^{2}}=-6 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{2}}+6t+5=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=-1 \\ & t=-5\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=-1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\pi +k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Chọn A