Giải bài 1.30 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) \(1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0\)

b) \(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=\sin^2 x-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

c) \(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)

d) \(2\tan^2x+3\tan x+2\cot^2x+3\cot x+2=0\)

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{aligned} & 1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)+\left( 1-\sin 2x \right)+2\cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)+{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}+2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left[ 1+\left( \sin x-\cos x \right)-2\left( \sin x+\cos x \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left( 1-\sin x-3\cos x \right)=0 \\ \end{aligned} \)
TH1: \( \sin x-\cos x=0\,\,\left( 1 \right)\)
Nhận thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.
\(\begin{aligned} & \left( 1 \right)\,\Leftrightarrow \tan x=1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2: \(1-\sin x-3\cos x=0\Leftrightarrow \sin x+3\cos x=1\,\,\left( 2 \right) \)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{10}\) ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}};\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10}} \)
Phương trình tương đương:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x=\sin \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x-\alpha \right)=\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-\alpha =\dfrac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi \\ & x-\alpha =-\dfrac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+2\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

b) ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
\(\begin{aligned} & \sin x-\dfrac{1}{\sin x}={{\sin }^{2}}x-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\ & \Leftrightarrow \sin x-{{\sin }^{2}}x-\left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \sin x\left( 1-\sin x \right)-\dfrac{\sin x-1}{{{\sin }^{2}}x}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( \sin x+\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( {{\sin }^{3}}x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \sin x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
c) ĐKXĐ: \( \cos 3x \ne 0\)
\(\begin{aligned} & \cos x\tan 3x=\sin 5x \\ & \Rightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sin 4x+\sin 2x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right) \\ & \Leftrightarrow \sin 4x=\sin 8x \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 8x=4x+k2\pi \\ & 8x=\pi -4x+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d) ĐKXĐ: \(x\ne k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(\begin{aligned} & 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x+2{{\cot }^{2}}x+3\cot x+2=0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{\tan }^{2}}x+2+{{\cot }^{2}}x \right)+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( \tan x+\cot x \right)}^{2}}+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
TH1:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2 \\ & \Rightarrow {{\tan }^{2}}x+2\tan x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \tan x=-1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+2=0 \\ \end{aligned} \)
(Vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập SBT Toán 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ