Giải bài 1.29 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) \(2\cos x-\sin x=2\)

b) \(\sin 5x +\cos 5x =-1\)

c) \(8\cos ^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

d) \(\sin ^6 x+\cos ^6 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

Lời giải:

a) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{{{2}^{2}}+1}=\sqrt{5}\) ta được:

\(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}};\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) ta được:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos x-\sin \alpha \sin x=\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos \left( \alpha +x \right)=\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \alpha +x=\alpha +k2\pi \\ & \alpha +x=-\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k2\pi \\ & x=-2\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
b) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) ta được:
\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{4}\cos 5x+\sin \dfrac{\pi }{4}\sin 5x=\cos \left( \dfrac{3\pi }{4} \right) \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 5x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos \left( \dfrac{3\pi }{4} \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 5x-\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 5x-\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{5}+\dfrac{k2\pi }{5} \\ & x=\dfrac{-\pi }{10}+\dfrac{k2\pi }{5} \\ \end{aligned} \right.\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

c) Ta có:
\(\begin{aligned} & 8{{\cos }^{4}}x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 8{{\left( \dfrac{1+\cos 2x}{2} \right)}^{2}}-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 2+2{{\cos }^{2}}2x+\sin 4x-4=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x-2+\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1+\cos 4x-2+\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 4x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow 4x-\dfrac{\pi }{4}=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{8}+k\dfrac{\pi }{2} \\ & x=k\dfrac{\pi }{2} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d)
\(\begin{aligned} & {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{3}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\left( \dfrac{1-\cos 4x}{2} \right)+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1 \\ \end{aligned} \)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{3}{5};\sin \alpha =\dfrac{4}{5} \) ta được:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos 4x+\sin \alpha \sin 4x=-1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 4x-\alpha \right)=-1 \\ & \Leftrightarrow 4x-\alpha =\pi +k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\alpha }{4}+\dfrac{k\pi }{4}\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập SBT Toán 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ