Giải bài 1.28 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos^2 x+2\sin x\cos x+5\sin^2 x=2\)

b) \(3\cos^2 x-2\sin 2x+\sin^2 x=1\)

c) \(4\cos ^2 x-3\sin x \cos x +3\sin^2 x=1\)

Lời giải:

a) Nhận thấy \( \cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos ^2 x\) ta được:
\(\begin{aligned} & 1+2\tan x+5{{\tan }^{2}}x=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right) \\ & \Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x+2\tan x-1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=-1 \\ & \tan x=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan \dfrac{1}{3}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}\)
b) Nhận thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos ^2 x\) ta được:
\(\begin{aligned} & 3-4\tan x+{{\tan }^{2}}x=1+{{\tan }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow 2-4\tan x=0 \\ & \Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow x=\arctan \dfrac{1}{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
c) Nhận thấy \( \cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos ^2 x\) ta được:
\(\begin{aligned} & 4-3\tan x+3{{\tan }^{2}}x=1+{{\tan }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-3\tan x+3=0 \\ \end{aligned} \)
Phương trình vô nghiệm.

Ghi nhớ:
Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos có dạng:
\(a\cos^2x+b\sin x\cos x+c\sin ^2x=0\) (\(a, b, c\) là hằng số)
Để giải phương trình dạng này, ta chia cả hai vế cho \(\cos^2x\) (với điều kiện \(\cos x\ne0\)) để đưa về phương trình đối với \(\tan x\), hoặc chia hai vế cho \(\sin ^2 x\) (với điều kiện \(\sin x\ne 0\) ) để đưa về phương trình đối với hàm \(\cot x\).
Tham khảo các dạng đặc biết ở Nhận xét trang 38.

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT) •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập SBT Toán 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ