Giải bài 1.27 trang 37 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giải các phương trình sau
a) \(2\tan x -3\cot x -2=0\)
b) \(\cos ^2 x=3\sin2x+3\)
c) \(\cot x-\cot 2x =\tan x+1\)
\(\begin{aligned} & a)\,\text{ĐKXĐ:}\,x\ne k\dfrac{\pi }{2} \\ & 2\tan x-3\cot x-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-2\tan x-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2} \\ & \tan x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\arctan \dfrac{1+\sqrt{7}}{2}+k\pi \\ & x=\arctan \dfrac{1-\sqrt{7}}{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
b) Nhận thấy \(\cos x =0\) không thỏa mãn phương trình.
Với \(\cos x\ne 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos^2x\) ta được:
\(\begin{aligned} & 1=6\tan x+3\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right) \\ & \Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x+6\tan x+2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3} \\ & \tan x=\dfrac{-3-\sqrt{3}}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\arctan \left( \dfrac{-3+\sqrt{3}}{3} \right)+k\pi \\ & x=\arctan \left( \dfrac{-3-\sqrt{3}}{3} \right)+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
c) ĐKXĐ: \(x\ne k\dfrac{\pi }{2},\,\, k\in \mathbb Z\)
\(\begin{aligned} & \cot x-\cot 2x=\tan x+1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1 \\ & \Rightarrow 2{{\cos }^{2}}x-\cos 2x=2{{\sin }^{2}}x+\sin 2x \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)-\cos 2x=\sin 2x \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x \\ & \Leftrightarrow \tan 2x=1 \\ & \Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2}\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)