Giải bài 1.24 trang 25 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\sin 3x-\cos x=0\) thuộc đoạn \(\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right]\) là:
A. \(\dfrac{3\pi} 2\)
B. \(\dfrac{4\pi} 2\)
C. \(\dfrac {5\pi} 4\)
D. \( \pi\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \sin 3x-\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 3x=\dfrac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ & 3x=\pi -\dfrac{\pi }{2}+x+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Trong đoạn \(\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right]\), với \(x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi }{8},\dfrac{\pi }{8},\dfrac{5\pi }{8},\dfrac{9\pi }{8}\) ứng với các giá trị \(k=-1,1,0\) và \(2\), trong đó \(\dfrac{9\pi }{8}\) là giá trị lớn nhất.
Còn với \(x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \) ta có hai giá trị là \(\dfrac{\pi }{4} \) và \(\dfrac{5\pi }{4}\) ứng với \(k=0\) và \(1\), trong đó \(\dfrac{5\pi }{4}\) là giá trị lớn nhất.
Vì \(\dfrac{5\pi }{4}> \dfrac{9\pi }{8}\) nên \(\dfrac{5\pi }{4}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong đoạn \(\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right]\)
Chọn C.