Giải bài 1.13 trang 14 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Cách 1: Thay $x=0$ thì $y=1$ lớn hơn $\dfrac{3}{4}$ lớn hơn $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và lớn hơn $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$  nên loại ba phương án B, C, D.

Cách 2: Với $x=\dfrac{\pi }{6}$  thì $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin x=\dfrac{1}{2}$  nên 

${{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x={{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{6}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{6}}=\dfrac{27}{64}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{28}{64}<\dfrac{1}{2}$

Suy ra ba phương án B, C, D loại.

Cách 3: Biến đổi.

$\begin{align} & {{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x=\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x \right) \\ & ={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x \\ & =1-3{{\left( \dfrac{\sin 2x}{2} \right)}^{2}} \\ & =1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}{{\cos }^{2}}2x \\ \end{align}$

Ta có: $\dfrac{1}{4}\le \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}{{\cos }^{2}}2x\le 1$

Vậy 

$\begin{align} & Min\,y=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & Max\,y=1\Leftrightarrow \cos 2x=1\Leftrightarrow x=k\pi \\ \end{align} \,\,(k\in\mathbb Z)$