Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\dfrac{1}{x}$

a) Tại điểm $\left(\dfrac{1}{2};2\right)$ ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$ ;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\dfrac{-1}{4}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{x_{0}^{2}} \\ \end{align}.$

a) Ta có:

${{x}_{0}}=\dfrac{1}{2};\,{{y}_{0}}=2;\,f'\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

$y=\dfrac {1}{x}$ tại

$\left(\dfrac{1}{2};2\right)$ là:

$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-2=-4\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \\ & \Leftrightarrow y=-4x+4 \\ \end{align}$

b) Điểm có hoành độ bằng

$-1$ thuộc đồ thị hàm số thì có tung độ là

$-1$ Vậy tọa độ tiếp điểm là

$(-1;-1)$ Ta có:

$x_0=-1;\,y_0=-1; f’(x_0)=f’(-1)=-1$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

$y=\dfrac{1}{x}$ tại

$(-1;-1)$ là:

$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=-\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-x-2 \\ \end{align}$
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng

$-\dfrac{1}{4}$ , suy ra:

$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{x_{0}^{2}}=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2$
Với

$x_0=-2$ , thì

$y_0=\dfrac{-1}{2}$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

$y=\dfrac{1}{x}$ là:

$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x+2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x-1 \\ \end{align}$
Với

$x_0=2$ , thì

$y_0=\dfrac{1}{2}$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

$y=\dfrac{1}{x}$ là:

$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+1 \\ \end{align}$

Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ là: $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ , trong đó: $y_0=f(x_0).$
Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại một tiếp điểm, ta phải biết được:
- Tọa độ tiếp điểm.
- Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm khác • Giải bài 1 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm số gia của hàm... • Giải bài 2 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính \(\Delta... • Giải bài 3 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính (bằng định nghĩa)... • Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng hàm... • Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp... • Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp... • Giải bài 7 trang 157 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Một vật rơi tự do theo...

Mục lục Đại số và Giải tích 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác •Chương 2: Tổ hợp và xác suất •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân •Chương 4: Giới hạn •Chương 5: Đạo hàm

Bài trước Bài sau

Đại số và Giải tích 11

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Giải bài 1 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 2 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 3 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 7 trang 157 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Đại số và Giải tích 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ