Giải bài 6 trang 104 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Tính $a_{n+1}$ theo $a_n$

Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chứng minh $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$  có giá trị không đổi với mọi n

Xét dãy ($a_n$), với $a_1=4$.

Giả sử hình vuông $C_n$ độ dài cạnh là $a_n$. Hình vuông $C_{n+1}$ có độ dài cạnh là $a_{n+1}$

Áp dụng định lý Pytago ta có:

$\begin{aligned} & {{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}}={{a}_{n}}\dfrac{\sqrt{10}}{4},\,\,\,\forall n\ge 1 \\ & \Rightarrow \dfrac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},\,\,\,\forall n\ge 1 \\ \end{aligned}$

Vậy dãy số ($a_n$) là cấp số nhân với $a_1=4$ và công bội $q=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$