Giải bài 5 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

 Nhắc lại:

Dãy số ($u_n$) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_n\le M , \,\forall n\in \mathbb N^*$

Dãy số ($u_n$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_n\ge m , \,\forall n\in \mathbb N^*$

Dãy số ($u_n$) được gọi là bị chặn vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.

a) Vì $u_n=2n^2-1\ge 1\,\,\forall n\in\mathbb N^*$

Nên dãy ($u_n$) bị chặn dưới và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng thì $2n^2-1$ cũng lớn vô cùng.

b) Ta có: $u_n > 0$ với mọi $n \in \mathbb N^*$

Vì $n(n+2)\ge 3$ nên $u_n =\dfrac{1}{n(n+2)}\le \dfrac{1}{3}$ với mọi $n \in \mathbb N^*$

Vậy dãy số ($u_n$) bị chặn vì $0 < u_n \le \dfrac{1}{3}$ với mọi $n \in \mathbb N^*$

c) Với $n\ge 1$ thì $2n^2-1>0 \Rightarrow u_n=\dfrac{1}{2n^2-1} > 0, \,\, \forall n\in\mathbb N^*$

Vì $2n^2-1\ge 1,$ nên $u_n=\dfrac{1}{2n^2-1}\le 1\,\, \forall n\in\mathbb N^*$

Vậy $0< u_n \le 1, \,\, \forall n\in\mathbb N^*$ nên ($u_n$) bị chặn

d) Ta có: $|u_n|=|\sqrt{2}\sin\left(n+\dfrac{\pi}{4}\right)|\le \sqrt{2}\,\,\,\,\forall n\in\mathbb N^*$

$\Rightarrow -\sqrt{2} \le u_n\le \sqrt{2}, \,\,\,\forall n\in\mathbb N^*\Rightarrow (u_n)$ bị chặn.