Giải bài 4 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

- Tính $u_{n+1}-u_n$.

Nếu $u_{n+1}-u_n>0$ thì dãy ($u_n$) là dãy tăng.

Nếu $u_{n+1}-u_n<0$ thì dãy ($u_n$) là dãy giảm.

Hoặc:

Với $(u_n) \ne 0.$

-Tính $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Nếu $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$ thì dãy ($u_n$) là dãy tăng.

Nếu $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}< 1$ thì dãy ($u_n$) là dãy giảm.

Bài giải:

a) Ta có:

 ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}-2-\dfrac{1}{n}+2=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0$

$\Rightarrow u_{n+1} < u_n$với mọi $n\in \mathbb N^*$

Vậy ($u_n$) là dãy số giảm.

b) Ta có:

$\begin{align} & {{u}_{n}}=\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{n+1-2}{n+1}=1-\dfrac{2}{n+1} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1-\dfrac{2}{n+2}-1+\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{2}{n+2}>0\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align}$

Vậy ($u_n$) là dãy số tăng.

c) Ta có: $u_1=-3;\,\,u_2=5;\,\,u_3=-9$ vì  $u_1 < u_2 > u_3$

Nên $(u_n)$ là dãy số không tăng, không giảm.

d) Với  $n\in \mathbb N^*, \,\,u_n\ne 0$ ta có:

$\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}=\dfrac{10{{n}^{2}}+19n+6}{10{{n}^{2}}+19n+7}<1$

$\Rightarrow u_{n+1} < u_n\,\,\, \forall n\in \mathbb N^*$

Vậy ($u_n$) là dãy số giảm.