Giải bài 3 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên $n\in \mathbb N^*$ là đúng với mọi n ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

a) Ta có: $u_1=3;\,\,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},\,\,\,n\ge 1$

$\begin{align} & \Rightarrow {{u}_{2}}=\sqrt{1+{{3}^{2}}}=\sqrt{10};\,\,\,\,\,{{u}_{3}}=\sqrt{1+10}=\sqrt{11} \\ & \,\,\,\,\,\,{{u}_{4}}=\sqrt{1+11}=\sqrt{12};\,\,\,\,\,{{u}_{5}}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13} \\ \end{align}$

b) Ta có:

$\begin{align} & {{u}_{1}}=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8} \\ & {{u}_{2}}=\sqrt{10}=\sqrt{2+8} \\ & {{u}_{3}}=\sqrt{11}=\sqrt{3+8} \\ & {{u}_{4}}=\sqrt{12}=\sqrt{4+8} \\ & {{u}_{5}}=\sqrt{13}=\sqrt{5+8} \\ & .... \\ & {{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}$

Chứng minh:

Với $n=1$ dễ thấy (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với $n=k$, tức là $u_k=\sqrt{k+8}$

Ta chứng minh (1) đúng với $n=k+1.$

Ta có: $u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2}=\sqrt{1+k+8}=\sqrt{(k+1)+8}$

Vậy (1) cũng đúng với $n=k+1$ nên (1) đúng với mọi $n\ge 1$.

Do đó công thức tổng quát của dãy số là: $u_n=\sqrt{n+8}$