Giải bài 3 trang 132 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lý về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định hàm số về dạng áp dụng được định lý này bằng cách:

- Phân tích tử thức thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu.

- Nhân liên hợp để trục căn thức ở mẫu

- Chia cả tử và mẫu thức cho $x^n$ với n là số mũ lớn nhất ( hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa $x^n$ rồi giản ước)

- Đưa $x^k$ ra ngoài căn thức.

a) $\lim\limits_{x\to -3}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\lim\limits_{x\to -3}\,\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -3}\,(x-1)=-4.$

b) Vì khi $x\to -2$  thì $x+2\to 0$ nên ta chưa thể áp dụng Định lý 1.

Với $x\ne -2$, ta có:  
$\lim\limits_{x\to -2}\,\dfrac{4-{{x}^{2}}}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\,\dfrac{(2-x)(2+x)}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\,\left( 2-x \right)=2-(-2)=4$

c)  Vì khi $x\to 6$  thì $x-6\to 0$ nên ta chưa thể áp dụng Định lý 1.

Với $x\ne 6$, ta có:  
 $\lim\limits_{x\to 6}\,\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\lim\limits_{x\to 6}\,\dfrac{x+3-9}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\lim\limits_{x\to 6}\,\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{6+3}+3}=\dfrac{1}{6}$

d) $\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{2x-6}{4-x}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{2-\dfrac{6}{x}}{\dfrac{4}{x}-1}=-2$ 
e) $\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{17}{{{x}^{2}}+1}$

Vì $\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)=+\infty \,\text{nên}\,\, \lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{17}{{{x}^{2}}+1}=0$

f)

 $\lim\limits_{x\to+ \infty }\,\dfrac{-2{{x}^{2}}+x+1}{3+x} \\ =\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2x+7-\dfrac{20}{x+3}\right)=-\infty$

Vì $\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x+7)=-\infty;\,\,\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{20}{x+3}=0$