Giải bài 5.5 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh rằng hàm số
\(y=sign x=\left\{ \begin{align} & 1\,\,\text{nếu}\,\,x>0 \\ & 0\,\,\text{nếu}\,\,x=0 \\ & -1\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \)
không có đạo hàm tại \(x=0.\)
\(y=f(x)=sign x=\left\{ \begin{align} & 1\,\,\text{nếu}\,\,x>0 \\ & 0\,\,\text{nếu}\,\,x=0 \\ & -1\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \)
Vì
\( \begin{align} & \lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,signx=-1 \\ & \lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,signx=1 \\ & f\left( 0 \right)=0 \\ \end{align} \)
Nên hàm số \(y=f(x)\) gián đoạn tại \(x=0\)
Do đó hàm số \(y=f(x)\) không có đạo hàm tại điểm \(x=0\)
Ghi nhớ:
Để chứng minh một hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) ta chứng minh không tồn tại giới hạn \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) hoặc chứng minh hàm số đó không liên tục tại \(x=x_0.\)
Một hàm số có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại \(x_0\), điều ngược lại chưa chắc đúng.