Giải bài 5.4 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh rằng hàm số \(y=|x-1|\) không có đạo hàm tại \(x=1\), nhưng liên tục tại điểm đó.

Lời giải:

Ta có: \(f(1)=0\)
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại \(x=1\) ta chứng minh không tồn tại giới hạn của \(\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\)
Ta có: \( \dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\dfrac{\left| x-1 \right|}{x-1}=\left\{ \begin{align} & 1\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 1 \\ & -1\,\,\text{nếu}\,\,x<1 \\ \end{align} \right.\)
Do vậy
\( \begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\left( -1 \right)=-1 \\ & \lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,1=1 \\ \end{align} \)
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của tỉ số \(\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\,\,\text{ khi}\,\, x\to 1\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x=1\)
Ta có: \(f\left( x \right)=\left| x-1 \right|=\left\{ \begin{align} & x-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 1 \\ & 1-x\,\,\,\text{nếu}\,\,x<1 \\ \end{align} \right.\)

Do vậy \(\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x=1\)

Mục lục Đại số và Giải tích 11 (SBT) theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác •Chương 2: Tổ hợp và xác suất •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân •Chương 4: Giới hạn •Chương 5: Đạo hàm

Bài trước Bài sau

Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ