Giải bài 5.37 trang 205 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giải bất phương trình \(\varphi '\left( x \right)<0\) với \( \varphi \left( x \right)=\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}+1} \)
A. \(\left( -\infty ;\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\infty \right) \)
B. \(\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right)\cup \left( \sqrt{5};+\infty \right) \)
C. \(\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right) \)
D. \(\mathbb R\)
Ta có:
\( \begin{align} & \varphi '\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x-1 \right)'\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2x\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2{{x}^{2}}+2x+2}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\ \Rightarrow &\varphi '\left( x \right)<0 \\ \Leftrightarrow& \dfrac{-2{{x}^{2}}+2x+2}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}<0 \\ \Rightarrow &-{{x}^{2}}+x+1<0 \\ \end{align}\)
Vì
\(\begin{align} & -{{x}^{2}}+x+1=-\left( x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \\ & \Rightarrow -{{x}^{2}}+x+1<0 \\ & \Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right) \\ \end{align} \)
Chọn A.