Giải bài 5.2 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho \(f(x)=\sqrt[3]{x-1}\). Tính \(f'(0),f'(1)\)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=\sqrt[3]{{{x}_{0}}+\Delta x-1}-\sqrt[3]{{{x}_{0}}-1} \\ & =\dfrac{{{x}_{0}}+\Delta x-1-\left( {{x}_{0}}-1 \right)}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ & =\dfrac{\Delta x}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ \end{align} \)
Suy ra
\( \begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{\Delta x}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}}{\Delta x} \\ & =\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ \end{align}\)
Vậy
\(y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}\\=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \)
Vậy \(y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{3} \), không tồn tại \(y'(1)\)