Giải bài 5.11 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\sqrt{2x+1}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac 1 3\)

A. \(y=\dfrac x 2+\dfrac 5 3\)

B. \(y=\dfrac x 3-\dfrac 5 3\)

C. \(y=\dfrac x 3+\dfrac 5 3\)

D. \(y=x-1\)

Lời giải:

Hướng dẫn:
- Tính đạo hàm của hàm số \( y=f(x)=\sqrt{2x+1}\)
- Từ hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac 1 3\) tính \(x_0\)
- Thay \(x_0\) vào f(x) tính \(y_0.\)

Bài giải

Giả sử \(\Delta x\) là số gia đối số tại \(x_0\)

Ta có:

\(\begin{align} & \Delta y=\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}-\sqrt{2{{x}_{0}}+1} \\ & =\dfrac{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1-\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}{\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{2{{x}_{0}}+1}} \\ & =\dfrac{2\Delta x}{\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{2{{x}_{0}}+1}} \\ \end{align}\)

Suy ra

\(\begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{2\Delta x}{\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{2{{x}_{0}}+1}}}{\Delta x}\\&=\dfrac{2}{\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{2{{x}_{0}}+1}} \\ & \Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{2}{\sqrt{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{2{{x}_{0}}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2{{x}_{0}}+1}} \\ \end{align}\)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến là \(\dfrac 1 3\) nên ta có

\(\begin{align} & \dfrac{1}{\sqrt{2{{x}_{0}}+1}}=\dfrac{1}{3} \\ & \Rightarrow 2{{x}_{0}}+1=9 \\ & \Leftrightarrow {{x}_{0}}=4 \\ & \Rightarrow {{y}_{0}}=3 \\ \end{align} \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số là

\(y-3=\dfrac{1}{3}\left( x-4 \right)\Leftrightarrow y=\dfrac 1 3x+\dfrac 5 3\)

Chọn C.

Mục lục Đại số và Giải tích 11 (SBT) theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác •Chương 2: Tổ hợp và xác suất •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân •Chương 4: Giới hạn •Chương 5: Đạo hàm

Bài trước Bài sau

Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Đại số và Giải tích 11 (SBT)

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ