Giải bài 5.1 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y=3x-5\)
b) \(y=4x^2-0,6x+7\)
c) \(y=4x-x^2\)
d) \(y=\sqrt{3x+1}\)
e) \(y=\dfrac{1}{x-2}\)
f) \(y=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)
Lời giải:
a)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có \(\Delta y=3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-5-\left( 3{{x}_{0}}-5 \right)=3\Delta x \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3\Delta x}{\Delta x}=3 \)
Vậy \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,3=3\Rightarrow y'=3 \)
b)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=4{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-0,6\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+7-\left( 4x_{0}^{2}-0,6{{x}_{0}}+7 \right) \\ & =8{{x}_{0}}\Delta x+4{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-0,6\Delta x \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{8{{x}_{0}}\Delta x+4{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-0,6\Delta x}{\Delta x}=8{{x}_{0}}-0,6+4\Delta x \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( 8{{x}_{0}}-0,6+4\Delta x \right)=8{{x}_{0}}-0,6 \\ & \Rightarrow y'=8x-0,6 \\ \end{align} \)
c) Với \(\Delta x \) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=4\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-\left( 4{{x}_{0}}-x_{0}^{2} \right) \\ & =4\Delta x-2{{x}_{0}}\Delta x-{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \\ \end{align}\)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4\Delta x-2{{x}_{0}}\Delta x-{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=4-2{{x}_{0}}-\Delta x \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( 4-2{{x}_{0}}-\Delta x \right)=4-2{{x}_{0}} \\ & \Rightarrow y'=4-2x \\ \end{align}\)
d)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}-\sqrt{3{{x}_{0}}+1} \\ & =\dfrac{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1-3{{x}_{0}}-1}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}}=\dfrac{3\Delta x}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{3\Delta x}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}}}{\Delta x}=\dfrac{3}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( \dfrac{3}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \\ & \Rightarrow y'=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}} \\ \end{align} \)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có \(\Delta y=3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-5-\left( 3{{x}_{0}}-5 \right)=3\Delta x \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3\Delta x}{\Delta x}=3 \)
Vậy \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,3=3\Rightarrow y'=3 \)
b)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=4{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-0,6\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+7-\left( 4x_{0}^{2}-0,6{{x}_{0}}+7 \right) \\ & =8{{x}_{0}}\Delta x+4{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-0,6\Delta x \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{8{{x}_{0}}\Delta x+4{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-0,6\Delta x}{\Delta x}=8{{x}_{0}}-0,6+4\Delta x \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( 8{{x}_{0}}-0,6+4\Delta x \right)=8{{x}_{0}}-0,6 \\ & \Rightarrow y'=8x-0,6 \\ \end{align} \)
c) Với \(\Delta x \) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=4\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-\left( 4{{x}_{0}}-x_{0}^{2} \right) \\ & =4\Delta x-2{{x}_{0}}\Delta x-{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \\ \end{align}\)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4\Delta x-2{{x}_{0}}\Delta x-{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=4-2{{x}_{0}}-\Delta x \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( 4-2{{x}_{0}}-\Delta x \right)=4-2{{x}_{0}} \\ & \Rightarrow y'=4-2x \\ \end{align}\)
d)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}-\sqrt{3{{x}_{0}}+1} \\ & =\dfrac{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1-3{{x}_{0}}-1}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}}=\dfrac{3\Delta x}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{3\Delta x}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}}}{\Delta x}=\dfrac{3}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( \dfrac{3}{\sqrt{3\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+1}+\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3{{x}_{0}}+1}} \\ & \Rightarrow y'=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}} \\ \end{align} \)
e)
Với \( \Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Với \( \Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x-2}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}-2} \\ & =\dfrac{\left( {{x}_{0}}-2 \right)-\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)}=\dfrac{-\Delta x}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{-\Delta x}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)}}{\Delta x}=-\dfrac{1}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( -\dfrac{1}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \right)=-\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'=-\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
f) \(y=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=-1-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1} \)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=-1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1}-\left( -1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}}-1} \right) \\ & =\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1} \\ & =2.\dfrac{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1-\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ & =2.\dfrac{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-\sqrt{{{x}_{0}}}}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ & =\dfrac{2\Delta x}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ \end{align} \)
Suy ra
\( \begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{2\Delta x}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)}}{\Delta x} \\ & =\dfrac{2}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ \end{align}\)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( \dfrac{2}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \right) \\ & =\dfrac{2}{2\sqrt{{{x}_{0}}}{{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}_{0}}}{{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'=\dfrac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
\(\begin{align} & \Delta y=\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x-2}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}-2} \\ & =\dfrac{\left( {{x}_{0}}-2 \right)-\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)}=\dfrac{-\Delta x}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \\ \end{align} \)
Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{-\Delta x}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)}}{\Delta x}=-\dfrac{1}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( -\dfrac{1}{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \right)=-\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'=-\dfrac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
f) \(y=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=-1-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1} \)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\)
Ta có
\(\begin{align} & \Delta y=-1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1}-\left( -1-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}}-1} \right) \\ & =\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1} \\ & =2.\dfrac{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1-\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ & =2.\dfrac{\sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-\sqrt{{{x}_{0}}}}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ & =\dfrac{2\Delta x}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ \end{align} \)
Suy ra
\( \begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{2\Delta x}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)}}{\Delta x} \\ & =\dfrac{2}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \\ \end{align}\)
Vậy
\( \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left( \dfrac{2}{\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}+\sqrt{{{x}_{0}}} \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}_{0}}+\Delta x}-1 \right)} \right) \\ & =\dfrac{2}{2\sqrt{{{x}_{0}}}{{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}_{0}}}{{\left( \sqrt{{{x}_{0}}}-1 \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'=\dfrac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
Nhắc lại quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1: Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) \)
Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \)
Bước 3: Tính \(\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \)
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm khác
Giải bài 5.1 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Sử dụng định nghĩa,...
Giải bài 5.2 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho \(f(x)=\sqrt[3]{x-1}\...
Giải bài 5.3 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho \(\varphi(x)=\dfrac{8...
Giải bài 5.4 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng hàm...
Giải bài 5.5 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng hàm...
Giải bài 5.6 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 5.7 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho \(f(x)=3x^2-4x+9\)Tì...
Giải bài 5.8 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho hàm số \(y=\sin...
Giải bài 5.9 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho hàm...
Giải bài 5.10 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 5.11 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Mục lục Đại số và Giải tích 11 (SBT) theo chương
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Tổ hợp và xác suất
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 4: Giới hạn
Chương 5: Đạo hàm
+ Mở rộng xem đầy đủ