Giải bài 5.1 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=3x5

b) y=4x20,6x+7

c) y=4xx2

d) y=3x+1

e) y=1x2

f) y=1+x1x

Lời giải:
a) 
Với Δx  là số gia của đối số tại  x0
Ta có Δy=3(x0+Δx)5(3x05)=3Δx
Suy ra ΔyΔx=3ΔxΔx=3
Vậy y(x0)=limΔx03=3y=3
b) 
Với Δx  là số gia của đối số tại x0
Ta có 
Δy=4(x0+Δx)20,6(x0+Δx)+7(4x200,6x0+7)=8x0Δx+4(Δx)20,6Δx
Suy ra ΔyΔx=8x0Δx+4(Δx)20,6ΔxΔx=8x00,6+4Δx
Vậy
y(x0)=limΔx0(8x00,6+4Δx)=8x00,6y=8x0,6
c) Với Δx  là số gia của đối số tại x0
Ta có 
Δy=4(x0+Δx)(x0+Δx)2(4x0x20)=4Δx2x0Δx(Δx)2 
Suy ra ΔyΔx=4Δx2x0Δx(Δx)2Δx=42x0Δx
Vậy
y(x0)=limΔx0(42x0Δx)=42x0y=42x 
d)
Với Δx  là số gia của đối số tại x0
Ta có 
Δy=3(x0+Δx)+13x0+1=3(x0+Δx)+13x013(x0+Δx)+1+3x0+1=3Δx3(x0+Δx)+1+3x0+1
Suy ra ΔyΔx=3Δx3(x0+Δx)+1+3x0+1Δx=33(x0+Δx)+1+3x0+1
Vậy
y(x0)=limΔx0(33(x0+Δx)+1+3x0+1)=323x0+1y=323x+1
e)
Với Δx  là số gia của đối số tại x0
Ta có 
Δy=1x0+Δx21x02=(x02)(x0+Δx2)(x0+Δx2)(x02)=Δx(x0+Δx2)(x02)
Suy ra  ΔyΔx=Δx(x0+Δx2)(x02)Δx=1(x0+Δx2)(x02)
Vậy
y(x0)=limΔx0(1(x0+Δx2)(x02))=1(x02)2y=1(x2)2
f) y=1+x1x=x+1x1=x1+2x1=12x1
Với Δx  là số gia của đối số tại x0
Ta có 
Δy=12x0+Δx1(12x01)=2x012x0+Δx1=2.x0+Δx1(x01)(x01)(x0+Δx1)=2.x0+Δxx0(x01)(x0+Δx1)=2Δx(x0+Δx+x0)(x01)(x0+Δx1)
Suy ra
ΔyΔx=2Δx(x0+Δx+x0)(x01)(x0+Δx1)Δx=2(x0+Δx+x0)(x01)(x0+Δx1) 
Vậy
y(x0)=limΔx0(2(x0+Δx+x0)(x01)(x0+Δx1))=22x0(x01)2=1x0(x01)2y=1x(x1)2
Nhắc lại quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1: Với Δx  là số gia của đối số tại x0, tính Δy=f(x0+Δx)f(x0)
Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx
Bước 3: Tính limΔx0ΔyΔx