Giải bài 4.61 trang 175 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giả sử hai hàm số \(y=f(x) \,\text{và}\,\, y=f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\) đều liên tục trên đoạn \([0;1]\) và \(f(0)=f(1)\). Chứng minh rằng phương trình \(f(x)-f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\)
Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( x+\dfrac{1}{2} \right)\). Ta có \(g(x)\) liên tục trên \([0;1]\) nên \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right] \)
\(\begin{align} & g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & g\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 1 \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 0 \right) \\ \end{align}\)
Suy ra
\(g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)=\left[ f\left( 0 \right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right].\left[ f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 0 \right) \right]\\=-{{\left[ f\left( 0\right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right]}^{2}}\le 0 \)
Nếu \(g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)=0\) thì \(x=0\) hoặc \(x=\dfrac 1 2 \) là nghiệm của phương trình \(g(x)=0\)
Nếu \(g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)<0\) thì phương trình \( g(x)=0\) có nghiệm trong khoảng \( \left( 0;\dfrac{1}{2} \right) \)
Vậy phương trình \(f\left( x \right)-f\left( x+\dfrac{1}{2} \right)=0\) luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ 0;\dfrac{1}{2} \right] \)