Giải bài 4.61 trang 175 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

  Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( x+\dfrac{1}{2} \right)$. Ta có $g(x)$ liên tục trên $[0;1]$ nên $g(x)$ liên tục trên $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$

 $\begin{align} & g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & g\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 1 \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 0 \right) \\ \end{align}$

Suy ra

 $g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)=\left[ f\left( 0 \right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right].\left[ f\left( \dfrac{1}{2} \right)-f\left( 0 \right) \right]\\=-{{\left[ f\left( 0\right)-f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right]}^{2}}\le 0$

Nếu $g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$  thì $x=0$ hoặc $x=\dfrac 1 2$ là nghiệm của phương trình $g(x)=0$

Nếu $g\left( 0 \right).g\left( \dfrac{1}{2} \right)<0$ thì phương trình $g(x)=0$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$

Vậy phương trình $f\left( x \right)-f\left( x+\dfrac{1}{2} \right)=0$  luôn có nghiệm trong đoạn $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]$