Giải bài 4.59 trang 174 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Xét \(f\left( x \right)={{x}^{5}}-5x-1\)  là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \)

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng \([-2;-1],[-1;0]\) và \([0;2]\)

Ta có: 

\(\begin{aligned} & f\left( -2 \right)=-23,f\left( -1 \right)=3,f\left( 0 \right)=-1,f\left( 2 \right)=21 \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( -2 \right)f\left( -1 \right)<0 \\ & f\left( -1 \right)f\left( 0 \right)<0 \\ & f\left( 0 \right)f\left( 2 \right)<0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Do đó theo định lý 3, phương trình \(f(x) =0\) có ít nhất ba nghiệm.

b) Xét hàm số \( f\left( x \right)=m{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-3\) liên tục trên \(\mathbb{R} \)

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn \([-2;1]\) và \([1;2]\)

Ta có

\(\begin{aligned} & f\left( -2 \right)=13>0\,\,\forall m \\ & f\left( 1 \right)=-2<0\,\,\forall m \\ & f\left( 2 \right)=13>0\,\,\forall m \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( -2 \right)f\left( 1 \right)<0\,\, \\ & f\left( 2 \right)f\left( 1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right.\forall m \\ \end{aligned}\)

Do vậy phương trình \(f(x)=0\) luôn có ít nhất hai nghiệm.

c) Xét \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-m\) liên tục trên \(\mathbb{R} \)

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn \([-1;1],[1;2]\)

Ta có: 

\(\begin{aligned} & f\left( -1 \right)=2-m>0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & f\left( 1 \right)=-2-m<0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & f\left( 2 \right)=5-m>0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( 1 \right)f\left( 2 \right)<0 \\ & f\left( -1 \right)f\left( 1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right.\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình \(f(x)=0\) luôn có hai nghiệm với mọi \(m\in \left( -2;2 \right)\)