Giải bài 4.59 trang 174 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Xét $f\left( x \right)={{x}^{5}}-5x-1$  là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $[-2;-1],[-1;0]$ và $[0;2]$

Ta có: 

$\begin{aligned} & f\left( -2 \right)=-23,f\left( -1 \right)=3,f\left( 0 \right)=-1,f\left( 2 \right)=21 \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( -2 \right)f\left( -1 \right)<0 \\ & f\left( -1 \right)f\left( 0 \right)<0 \\ & f\left( 0 \right)f\left( 2 \right)<0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Do đó theo định lý 3, phương trình $f(x) =0$ có ít nhất ba nghiệm.

b) Xét hàm số $f\left( x \right)=m{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)+{{x}^{4}}-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn $[-2;1]$ và $[1;2]$

Ta có

$\begin{aligned} & f\left( -2 \right)=13>0\,\,\forall m \\ & f\left( 1 \right)=-2<0\,\,\forall m \\ & f\left( 2 \right)=13>0\,\,\forall m \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( -2 \right)f\left( 1 \right)<0\,\, \\ & f\left( 2 \right)f\left( 1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right.\forall m \\ \end{aligned}$

Do vậy phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất hai nghiệm.

c) Xét $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-m$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Do đó hàm số liên tục trên các đoạn $[-1;1],[1;2]$

Ta có: 

$\begin{aligned} & f\left( -1 \right)=2-m>0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & f\left( 1 \right)=-2-m<0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & f\left( 2 \right)=5-m>0\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & f\left( 1 \right)f\left( 2 \right)<0 \\ & f\left( -1 \right)f\left( 1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right.\,\,\forall m\in \left( -2;2 \right) \\ \end{aligned}$

Vậy phương trình $f(x)=0$ luôn có hai nghiệm với mọi $m\in \left( -2;2 \right)$