Giải bài 4.57 trang 174 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$

Với $x\ne -1$ ta có: $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+1}$  là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right) \,\,\text{và}\,\, \left( -1;+\infty \right)$

Với $x=-1$ ta có: $f\left( x \right)=1$

$\begin{align} & \lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+1} \\ & =\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \\ & =\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{x+4}{{{x}^{2}}-x+1}=1 \\ \end{align}$

Do vậy $\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,f\left( x \right)=f\left( -1 \right)$

Suy ra hàm số liên tục tại $x=-1$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$