Giải bài 4.57 trang 174 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+1}\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x\ne -1 \\ & 1\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x=-1 \\ \end{align} \right. \)
trên tập xác định của nó.
Tập xác định của hàm số là \( D=\mathbb{R} \)
Với \(x\ne -1 \) ta có: \(f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+1}\) là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right) \,\,\text{và}\,\, \left( -1;+\infty \right) \)
Với \(x=-1\) ta có: \(f\left( x \right)=1 \)
\(\begin{align} & \lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}+5x+4}{{{x}^{3}}+1} \\ & =\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \\ & =\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,\dfrac{x+4}{{{x}^{2}}-x+1}=1 \\ \end{align} \)
Do vậy \(\lim_{x\to -{{1}^{}}}\limits\,f\left( x \right)=f\left( -1 \right) \)
Suy ra hàm số liên tục tại \(x=-1\)
Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \)