Giải bài 4.50 trang 173 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định bởi \( \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{2{{u}_{n}}+3}{{{u}_{n}}+2}\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.\)
a) Chứng minh rằng \(u_n > 0\) với mọi \(n\)
b) Biết \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
a) Chứng minh bằng quy nạp: \(u_n>0\) với mọi \(n\) (1)
Với \(n=1\), ta có \(u_1=1> 0\) (đúng)
Giả sử (1) đúng với \(n=k\ge 1\), nghĩa là \(u_k>0\), ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Ta có \( {{u}_{k+1}}=\dfrac{2{{u}_{k}}+3}{{{u}_{k}}+2}\). Vì \({{u}_{k}}>0\) nên \({{u}_{k+1}}=\dfrac{2{{u}_{k}}+3}{{{u}_{k}}+2}>0 \)
Do vậy (1) đúng với mọi \(n\).
b) Đặt \(\lim u_n=a\)
\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}+3}{{{u}_{n}}+2}\Rightarrow {{\operatorname{limu}}_{n+1}}=\lim \dfrac{2{{u}_{n}}+3}{{{u}_{n}}+2} \\ & \Rightarrow a=\dfrac{2a+3}{a+2}\Rightarrow a=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \)
Vì \(u_n > 0\) với mọi n nên \(\lim u_n=a> 0.\)
Vậy \(\lim u_n=\sqrt{3}\)