Giải bài 4.47 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tính các giới hạn sau (n→+∞)
a) lim
b) \lim \dfrac{1+2+3+...+n}{{{n}^{2}}+n+1}
c) \lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+2n+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+n-1} \right)
a)
\lim \dfrac{{{\left( -3 \right)}^{n}}+{{2.5}^{n}}}{1-{{5}^{n}}} \\ =\lim \dfrac{{{\left( -\dfrac{3}{5} \right)}^{n}}+2}{{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}-1}=-2
b)
\lim \dfrac{1+2+3+...+n}{{{n}^{2}}+n+1}\\=\lim \dfrac{\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}}{{{n}^{2}}+n+1} \\ =\lim \dfrac{{{n}^{2}}+n}{2\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)} \\ =\lim \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2\left( 1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=\dfrac{1}{2}
c)
\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+2n+1}-\sqrt{{{n}^{2}}+n-1} \right) \\ =\lim \dfrac{n+2}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n+1}+\sqrt{{{n}^{2}}+n-1}} \\ =\lim \dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}}=\dfrac{1}{2}