Giải bài 4.41 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}} \)

\(f(x)\) là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên \(\mathbb R\)

Ta có

\(\begin{align} & \lim_{x\to +\infty }\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to +\infty }\limits\,\left( {{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}} \right) \\ & =\lim_{x\to +\infty }\limits\,{{x}^{n}}\left( 1+\dfrac{{{a}_{1}}}{x}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{x}^{2}}}+...+\dfrac{{{a}_{n-1}}}{{{x}^{n-1}}}+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{x}^{n}}} \right)=+\infty \\ \end{align} \)

Vì \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,f\left( x \right)=+\infty\)  nên với dãy (\(x_n\)) bất kì mà \(x_n\to +\infty\) ta luôn có \(\lim f(x_n)=+\infty.\)

Do đó \(f(x_n)\) có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương đó là 1 thì \(f(x_n)> 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Hay luôn tồn tại một số \(a\) sao cho \(f(a)> 1\)

\( \begin{align} & \lim_{x\to -\infty }\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to -\infty }\limits\,\left( {{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}} \right) \\ & =\lim_{x\to -\infty }\limits\,{{x}^{n}}\left( 1+\dfrac{{{a}_{1}}}{x}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{x}^{2}}}+...+\dfrac{{{a}_{n-1}}}{{{x}^{n-1}}}+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{x}^{n}}} \right)=-\infty \\ \end{align}\)

(vì \(n\) là số lẻ)

Vì \(\lim_{x\to -\infty }\limits\,f\left( x \right)=-\infty\)  nên với dãy (\(x_n\)) bất kì mà \(x_n\to -\infty \) ta luôn có \(\lim f(x_n)=-\infty\) hay \(\lim [-f(x_n)]=+\infty\).

Do đó \(-f(x_n)\) có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương đó là \(1\) thì \(-f(x_n)> 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Hay luôn tồn tại một số b sao cho \(-f(b)> 1\Leftrightarrow f(b)<-1\)

Do vậy \(f(a)f(b) < 0\)

Mặt khác hàm số \(f(x)\) liên tục trên \( \mathbb R\) nên liên tục trên \( [a;b]\)

Do đó phương trình \(f(x) =0\) luôn có nghiệm