Giải bài 4.40 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a) \((1-m^2)(x+1)^3+x^2-x-3=0\)
b) \(m(2\cos x-\sqrt 2)=2\sin 5x+1\)
a) Xét đa thức \(f\left( x \right)=\left( 1-{{m}^{2}} \right){{\left( x+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R} \)
Ta có:
\(f\left( -2 \right)={{m}^{2}}+2>0\,\,\forall \,m;f\left( -1 \right)=-1<0 \)
Suy ra \(f\left( -1 \right)f\left( -2 \right)<0 \)
Theo định lý 3, tồn tại một số \(x_0 \in (-2;-1)\) sao cho \(f(x_0)=0\)
Do đó phương trình \(f(x)=0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((-2;-1)\) với mọi m.
Nghĩa là, phương trình \(\left( 1-{{m}^{2}} \right){{\left( x+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m
b) Xét hàm số \(f\left( x \right)=m\left( 2\cos x-\sqrt{2} \right)-2\sin 5x-1\)
Ta có:
\(\begin{align} & f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=m\left[ 2\cos \left( \dfrac{\pi }{4} \right)-\sqrt{2} \right]-2\sin \left( \dfrac{5\pi }{4} \right)-1=-1+\sqrt{2}>0 \\ & f\left( -\dfrac{\pi }{4} \right)=m\left[ 2\cos \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)-\sqrt{2} \right]-2\sin \left( -\dfrac{5\pi }{4} \right)-1=-1-\sqrt{2}<0 \\ \end{align}\)
Suy ra \(f\left( -\dfrac{\pi }{4} \right).f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)<0 \) với mọi m.
Tồn tại một nghiệm thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right)\)
Vậy phương trình \(f(x)=0\) luôn có nghiệm với mọi m.