Giải bài 4.38 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}-1}\,\,\text{nếu}\,\,x\ne 1 \\ & {{m}^{2}}\,\,\,\text{nếu}\,\,x=1 \\ \end{align} \right. \) liên tục trên \((0;+\infty)\)
Hướng dẫn:
Hàm số liên tục trên \((0;+\infty)\) nếu hàm số liên tục tại \(x=1\).
Bài giải
Với \(x\ne 1\) thì \(f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{{{x}^{2}}-1}\) là hàm đa thức xác định trên \((0;+\infty )\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên liên tục trên các khoảng \((0;1)\) và \( \left( 1;+\infty \right) \)
Với \(x=1 \) thì \(f(1)=m^2\).
Để hàm số liên tục trên \((0;+\infty) \) thì \(\lim_{x\to {{1}}}\limits\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right) \)
Ta có: \(\lim_{x\to {{1}}}\limits\,f\left( x \right)=m^2\)
Vậy để hàm số liên tục trên \(\left( 0;+\infty \right)\) thì \(f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{1}{2} \)