Giải bài 4.36 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) \(f(x)=\sqrt{x+5}\) tại \(x=4\)
b) \(g\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}\,\,\,\text{nếu}\,\,x<1 \\ & -2x\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 1 \\ \end{align} \right. \) tại \(x=1\)
Hướng dẫn: Để xét tính liên tục của hàm số \(f(x)\) tại \(x=x_0\) ta thực hiện:
Tình \(\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)\) và \(f(x_0)\)
Nếu \(\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\) thì hàm số liên tục.
Bài giải
a)
Tập xác định của hàm số là \(D=\left[ -5;+\infty \right)\) chứa \(x=4\)
Ta có: \(f\left( 4 \right)=\sqrt{4+5}=3\) và \(\lim_{x\to 4}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to 4}\limits\,\sqrt{x+5}=3 \)
Do đó hàm số liên tục tại \(x=4\)
b)
Tập xác định của hàm số là \( D=\mathbb{R} \)
Ta có: \(f\left( 1 \right)=-2 \)
\(\begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\dfrac{x-1}{\sqrt{2-x}-1} \\ & =\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{2-x-1}=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\left( -\sqrt{2-x}-1 \right)=-2 \\ \end{align} \)
\(\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\left( -2x \right)=-2 \)
Vậy hàm số liên tục tại \(x=1\)