Giải bài 4.33 trang 170 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên \((a;b]\) và trên \((b;c)\) nhưng không liên tục trên \((a;c)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+1\,\,\,\text{nếu}\,\,x\le 1 \\ & x-1\,\,\text{nếu}\,\,x>1 \\ \end{align} \right. \)
Trường hợp \(x\le 1\).
\(f\left( x \right)={{x}^{2}}+1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\), do đó nó liên tục trên \(\left( 0;1 \right]\)
Trường hợp \(x> 1\)
\(f(x)=x-1\) là là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\), do đó nó liên tục trên \((1;2)\)
Như vậy \(f(x)\) liên tục trên \((0;1]\) và \((1;2)\)
Tuy nhiên vì \(\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)=2,\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\left( x-1 \right)=0 \)
Nên hàm số gián đoạn tại \(x=1\). Do đó nó không liên tục trên khoảng \((0;2)\)