Giải bài 4.32 trang 170 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(f(x)=\dfrac{(x-1)|x|}{x}\)
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Ta có:
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & -x+1\,\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ & x-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 0 \\ \end{align} \right.\)
+) Vẽ đồ thị hàm số \(f(x)=-x+1\) với \(x< 0.\)
Vẽ đường thẳng \(y=-x+1\). Xóa phần đồ thị nằm bên phải trục tung.
+) Vẽ đồ thị hàm số \(f(x)=x-1\) với \( x \ge 0\)
Vẽ đường thẳng \(y=x-1\). Xóa phần đồ thị nằm bên trái trục tung.
Từ đồ thị hàm số ta sự đoán \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \((0; +\infty)\). Nhưng không liên tục trên \(\mathbb R\).
Thật vậy:
Với \(x> 0\), \( f(x) =x-1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\), do đó liên tục trên \((0;+\infty)\)
Với \(x<0,\) \(f(x) =1-x\) cũng là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\), do đó liên tục trên \( (-\infty; 0)\)
Dễ thấy hàm số gián đoạn tại \(x=0\) vì \(\lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=1,\lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=-1 \).