Giải bài 4.31 trang 167 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & mx+2,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x\le 1 \\ & \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{{{x}^{3}}-3},\,\,\,\text{nếu}\,\,x>1 \\ \end{align} \right. \)
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số \(f(x)\) có giới hạn khi \(x\to 1\)?
| A. \( m=-1\) | B. \(m=1\) | C. \(m=-2\) | D. \(m=2\) |
Hướng Dẫn:
Hàm số có giới hạn khi \(x\to 1\) nếu và chỉ nếu \(\lim_{x\to 1^-}\limits f(x)=\lim_{x\to 1^+}\limits f(x)\)
Bài giải
Ta có:
\(\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\left( mx+2 \right)=m+2 \)
\(\begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\left( \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{{{x}^{3}}-1} \right) \\ & =\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1-3}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)} \\ & =\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+x+1}=1 \\ \end{align} \)
Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn khi \(x\to 1\) thì
\( \begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right) \\ & \Leftrightarrow m+2=1 \\ & \Leftrightarrow m=-1 \\ \end{align} \)
Chọn A.